（続・続）枠順の有利不利を測る指標を考える

（続）枠順の有利不利を測る指標を考えるの続きです。3回目になるので、ここまでの流れを整理します。

1回目では、枠ごとの複勝率の問題を3つ挙げました。1着と3着を同じ1件にすること、同じ着順でも頭数によって価値が違うこと、馬番によって期待値が違うこと。代わりに相対順位スコア（(頭数 − 着順) ÷ (頭数 − 1)。頭数の何%の位置で走ったかを表す数字）を選びました。同じレース数でもブレが小さく、次走の成績との相関も高く、頭数の違いも吸収してくれるためです。

2回目では、その相対順位スコアで測り直したところ、芝の稍重で前の結論が成り立たなくなりました。調べていくと、枠順の有利不利が着順のどこに出るかは芝とダートで違っていました。ダートの外枠有利は上位20%に集中し、芝の内枠有利は下位20%にいちばん大きく出ます。全着順を等しく見る相対順位スコアは、ダートのような形の効果を薄めてしまいます。

成分ごとに向く指標を選ぶ手はありますが、調べるたびに「これはどちらで測るのか」を先に決めることになり、その判定自体にも誤差があります。

指標をもう一度考え直すことにしました。

指標を考え直す

1回目に並べた候補を、作り方ごとに振り返ります。

• 着順のどこかに線を引く — 勝率、複勝率、複勝率（頭数補正）、上位1/3以内率
• 着順ごとに重みをつける — 賞金ポイント、着順の逆数
• 順位そのものを使う — 相対順位スコア、正規スコア
• 着差まで使う — タイム差

線を引くもの以外は、どれも着順全体を見ています。 相対順位スコアと正規スコアは最下位まで等しく扱いますし、タイム差も同じです。着順ごとに重みをつけるものは上位を重く数えますが、下位にも値が入るので程度の差でしかありません。

上位に集中した効果を薄めてしまうという問題は、線を引く以外のすべてに共通していました。

上位だけ見れば足りる

馬券を買う立場で言えば、知りたいのは馬券圏内に来るかどうかです。下位のなかで順位が上下しても、予想には関係ありません。 下位にだけ現れる要因は、無視してかまわないことになります。

では、着順全体に一様に効く要因を見落とさないか。これは問題になりません。一様ということは上位にも同じだけ効いているので、上位を見ていれば拾えます。

芝の内枠有利がその例です。外枠が不利になる度合いは下位のほうが大きいのですが、上位にもきちんと現れています。 複勝率で測った内外差は −1.75 ± 0.40ポイントです。着順全体で測ればもっと大きくなるものの、増える分は「外枠は後ろに沈みやすい」という、予想には使わない部分になります。

上位に線を引いた指標で足りる、ということになります。線を上に置くほど下位の情報を捨てますが、捨てているのは予想には関係ない部分です。

複勝率を作り直す

複勝率の「3着以内」という線は、もともとその位置にありました。問題は線の位置ではなく、頭数と期待値の扱いだったことになります。

1回目に挙げた3つの問題のうち、後ろの2つです。

• 同じ着順でも、頭数によって価値が違う
• 馬番によって、3着以内に入る期待値が違う

どちらも「何の有利不利もなければ3着以内に入る確率は 3 ÷ 頭数」という期待値を引けば片づきます。そうやって作ったものを、複勝スコアと呼ぶことにしました。

複勝スコア = 1[3着以内] − (そのレースで3着以内に入った頭数) ÷ 頭数

3着以内なら1、そうでなければ0とし、そこから「そのレースで何割が3着以内だったか」を引きます。16頭立てなら3着以内が +0.813、4着以下が −0.188 です。

• 引いている 3 ÷ 頭数 は期待複勝率（何の有利不利もなければ3着以内に入る確率）です。外枠に入った馬をまとめて平均を取れば 「外枠の複勝率 − 期待複勝率」 になり、頭数の違いも期待値のずれも消えます
• 外枠と内枠のように2つを比べるときは、差をそのまま複勝率の差として読めます。 差が 0.034 なら、複勝率で3.4ポイントということです
• 1レースの中で全馬の値を足すと、必ず0になります。 クラスや頭数といった、そのレース全体に効く違いが打ち消され、枠順による差だけが残ります
• 測る対象が「複勝圏内に来るかどうか」そのものなので、上位集中か一様かで結果が変わりません

同着で4頭が3着以内になるレース（17,265レース中38レース）でも、引く値がそのぶん増えるので合計は0のままです。

ベンチマークで比べる

1回目と同じ2つのベンチマークにかけました。必要レース数は小さいほど、次走成績との相関は大きいほど良い指標です。

複勝率とまったく同じ成績です。 引いている 3 ÷ 頭数 はレース内では一定なので、レース内で馬番を入れ替える検定にも、前走から次走を読む相関にも、ほとんど影響しません。

1回目に候補としてすら挙げなかったのは、このためでした。着順のどこで測るかという観点では、複勝率と同じものです。別物として扱う理由は、上位集中という軸が出てきてはじめて生まれています。

相対順位スコアに対しては、同じ確からしさを得るのに約1.6倍のレース数が必要になります。

上位を重く数える中間的な指標も試しました。上位半分だけ相対順位を使う形では、ダートの外枠有利の取りこぼしが残ります。1着1.0 / 2着0.6 / 3着0.35 と重みをつける形なら取りこぼしは消えて効率も少し良くなりますが、重みの決め方に根拠がなく、差を複勝率のポイントとして読めなくなります。 効率のために説明のしやすさを手放すのは割に合わないと判断し、複勝スコアを採用することにしました。

まとめ

相対順位スコアを選んだ根拠は、検出効率と次走予測力の2つでした。しかし、そこには 「効果が着順のどこに出るか」という軸が不足していました。

1着と3着を区別できないのは複勝率と同じままです。 ただ、1回目のベンチマークを振り返ると、ここは思ったほど問題ではありませんでした。上位を強く重み付けした賞金ポイントや着順の逆数は、複勝率を少し上回るものの、相対順位スコアには届いていません。効いていたのは1着と3着を分けることではなく、4着以下を使うことのほうでした。

効率も複勝率と同じなので、得たのは頭数と期待値の2つだけです。地味な結論ですが、枠順はその2つが絡み合う話なので、ここが素直になるだけで扱いやすくなりました。

以降の枠順の記事では、この複勝スコアで測っていこうと思います。

なお、相対順位スコアが全く使えないわけではないと思います。次走成績との相関は0.408で、複勝率の0.283を大きく上回ります。前走をどう評価するかといった用途にはこちらのほうが向いているかもしれません。